2F-1 : | An Application of Equations of State | 10 pts |
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Estimate
the pressure of ammonia at a temperature of 27oC and a specific
volume of 0.626 m3/kg. a.) Ideal Gas EOS b.) Virial EOS c.) van der Waal EOS d.) Soave-Redlich-Kwong EOS |
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e.) Compressibility
Factor EOS f.) Steam Tables. |
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Read : | Not much to say here. | |||||||||||||||||
Given: | T | 27 | oC | Find: | P | ??? | kPa | |||||||||||
V | 0.626 | m3/kg | ||||||||||||||||
Assumptions: | None. | |||||||||||||||||
Equations / Data / Solve: | ||||||||||||||||||
Begin by collecting all of the constants needed for all the Equations of State in this problem. | ||||||||||||||||||
R | 8.314 | J/mol-K | Tc | 405.55 | K | |||||||||||||
MW | 17.03 | g NH3 / mol NH3 | Pc | 1.128E+07 | Pa | |||||||||||||
w | 0.250 | |||||||||||||||||
Part a.) | Ideal Gas EOS : |
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Eqn 1 | |||||||||||||||
Solve for pressure : |
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Eqn 2 | ||||||||||||||||
We must determine the molar volume before we can use Eqn 2 to answer the question. | ||||||||||||||||||
Use the definition of molar volume: |
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Eqn 3 | ||||||||||||||||
Where : |
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Eqn 4 | ||||||||||||||||
Therefore : |
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Eqn 5 | ||||||||||||||||
V | 1.066E-02 | m3/mol | ||||||||||||||||
Now, plug values back into Eqn 2. | T | 300.15 | K | |||||||||||||||
P | 2.341E+05 | Pa | ||||||||||||||||
Be careful with the units. | P | 234.1 | kPa | |||||||||||||||
Part b.) | Truncated Virial EOS : |
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Eqn 6 | |||||||||||||||
We can estimate B using : |
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Eqn 7 | ||||||||||||||||
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Eqn 8 | |||||||||||||||||
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Eqn 9 | |||||||||||||||||
Where : |
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Eqn 10 | ||||||||||||||||
We can solve Eqn 6 for P : |
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Eqn 11 | ||||||||||||||||
Plugging numbers into Eqns 10, 8, 9, 7 and 11 (in that order) yields : | ||||||||||||||||||
TR | 0.740 | B | -2.14E-04 | m3/mol | ||||||||||||||
B0 | -0.6000 | Z | 9.80E-01 | |||||||||||||||
B1 | -0.4698 | P | 229.4 | kPa | ||||||||||||||
Part c.) | van der Waal EOS : |
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Eqn 12 | |||||||||||||||
We can determine the values of a and b, which are constants that depend only on the chemical species in the system, from the following equations. | ||||||||||||||||||
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Eqn 13 |
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Eqn 14 | |||||||||||||||
Tc | 405.55 | K | a | 0.4252 | Pa-mol2/m6 | |||||||||||||
Pc | 1.128E+07 | Pa | b | 3.74E-05 | m3/mol | |||||||||||||
Now, we can plug the constants a and b into Eqn 12 to determine the pressure. | ||||||||||||||||||
P | 231.2 | kPa | ||||||||||||||||
Part d.) | Soave-Redlich-Kwong EOS : |
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Eqn 15 | |||||||||||||||
We can determine the values of a, b and a, which are constants that depend only on the chemical species in the system, from the following equations. | ||||||||||||||||||
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Eqn 16 |
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Eqn 17 | |||||||||||||||
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Eqn 18 |
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Eqn 19 | |||||||||||||||
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Eqn 20 | |||||||||||||||||
Where : | w | 0.250 | ||||||||||||||||
Now, plug values into Eqns 15 - 20 : | ||||||||||||||||||
TR | 0.7401 | a | 0.43084 | Pa-mol2/m6 | ||||||||||||||
m | 0.8633 | b | 2.590E-05 | m3/mol | ||||||||||||||
a | 1.25575 | |||||||||||||||||
P | 229.9 | kPa | ||||||||||||||||
Part e.) | Compressibility EOS : | |||||||||||||||||
Given TR and the ideal reduced molar volume, use the compressibility charts to evaluate either PR or the compressibility, Z | ||||||||||||||||||
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Eqn 21 | From part c : | TR | 0.7401 | ||||||||||||||
Defiition of the ideal reduced molar volume : |
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Eqn 22 | ||||||||||||||||
VRideal | 35.67 | |||||||||||||||||
Read the Generalized Compressibility Chart for PR = 0 to 1 (not easy!): |
PR | 0.02 | ||||||||||||||||
Z | 0.983 | |||||||||||||||||
We can use the definition of PR to calculate P : | ||||||||||||||||||
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Eqn 23 |
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Eqn 24 | |||||||||||||||
P | 225.6 | kPa | ||||||||||||||||
Or, we can use Z and its definition to determine P : | ||||||||||||||||||
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Eqn 25 | |||||||||||||||||
P | 230.1 | kPa | ||||||||||||||||
Part f.) | The Ammonia Tables provide the best available estimate of the pressure. | |||||||||||||||||
We begin by determining the state of the system. In this case, it would be easiest to lookup the Vsat vap and Vsat liq at the given temperature. | ||||||||||||||||||
If : | V > Vsat vap | Then : | The system contains a superheated vapor. | |||||||||||||||
If : | V < Vsat liq | Then : | The system contains a subcooled liquid. | |||||||||||||||
If : | Vsat vap > V > Vsat liq | Then : | The system contains an equilibrium mixture of saturated liquid and saturated vapor. | |||||||||||||||
Data : | P*(kPa) | T (oC) | Vsat liq (m3/kg) | Vsat vap (m3/kg) | Hsat liq (kJ/kg) | Hsat vap (kJ/kg) | ||||||||||||
1066.56 | 27 | 1.67E-03 | 0.12066 | 308.11 | 1465.42 | |||||||||||||
Because V > Vsat vap, the ammonia is superheated in this system. | ||||||||||||||||||
At this point we can make use of the fact that we have a pretty good idea of what the actual pressure is in the tank (from parts a-d) or we can scan the superheated vapor tables to determine which two pressures bracket our known value of the specific volume. The given specific volume of 0.626 m3/kg lies between 200 kPa and 250 kPa and T = 27oC lies between 25oC and 50oC. This is a tricky multiple interpolation problem ! | ||||||||||||||||||
The Superheated Ammonia Table gives us : | P*(kPa) | T (oC) | V (m3/kg) | H (kJ/kg) | ||||||||||||||
200 | 20 | 0.6995 | 1510.1 | |||||||||||||||
200 | 30 | 0.7255 | 1532.5 | |||||||||||||||
250 | 25 | 0.5668 | 1518.2 | |||||||||||||||
250 | 50 | 0.6190 | 1574.7 | |||||||||||||||
We can now interpolate on this data to determine values of the specific volume at T = 27oC at BOTH 200 kPa and 250 kPa. This will help us setup a second interpolation to determine the pressure that corresponds to T = 27oC and V = 0.626 m3/kg. | ||||||||||||||||||
At 200 kPa : | T (oC) | V (m3/kg) | ||||||||||||||||
20 | 0.6995 | |||||||||||||||||
30 | 0.7255 | |||||||||||||||||
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Eqn 26 | |||||||||||||||||
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Eqn 27 | |||||||||||||||||
slope | 2.600E-03 | (m3/kg)/oC | V | 0.71766 | m3/kg | |||||||||||||
At 250 kPa : | T (oC) | V (m3/kg) | ||||||||||||||||
25 | 0.5668 | |||||||||||||||||
50 | 0.6190 | |||||||||||||||||
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Eqn 28 | |||||||||||||||||
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Eqn 29 | |||||||||||||||||
slope | 2.085E-03 | (m3/kg)/oC | V | 0.57102 | m3/kg | |||||||||||||
Now, we must interpolate one more time to determine the pressure which, at 27oC, yields a spoecific volume of 0.626 m3/kg : | ||||||||||||||||||
At 27oC : | P (kPa) | V (m3/kg) | ||||||||||||||||
200 | 0.7177 | |||||||||||||||||
250 | 0.5710 | |||||||||||||||||
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Eqn 30 | |||||||||||||||||
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Eqn 31 | |||||||||||||||||
slope | -340.96 | (m3/kg)/kPa | P | 231.3 | kPa | |||||||||||||
Verify: | No assumptions to verify. | |||||||||||||||||
Answers : | a.) | P | 234.1 | kPa | d.) | P | 229.9 | kPa | ||||||||||
b.) | P | 229.4 | kPa | e.) | P | 230.1 | kPa | |||||||||||
c.) | P | 231.2 | kPa | f.) | P | 231.3 | kPa | |||||||||||